fractional approximation of π

πの分数近似

円周率πの値は東京大学金田研究室が1999年に2061億5843万桁の計算記録を樹立していますが、古くはπの分数近似値 355/113 を宗時代の祖冲之(Ze Cheng zhi)が得ているそうです。最も簡単なπの分数近似 22/7 は US gallon の 231立方インチの元になっています^*note1。
なにかと便利なので、もうちょいましな多桁の分数近似を求めてみました。

πの分数近似 (π≒3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628…)

上限	被除数 a	除数 b	誤差(a/b/π-1)
16bit以下	355	113	8.49136786583708625840e-8
10進5桁以下	99733	31746	3.81881198949430055092e-9
10進6桁以下	833719	265381	2.77421939101155628946e-12
10進7桁以下	5419351	1725033	7.04890217867358664916e-15
10進8桁以下	85563208	27235615	2.73804930887241960781e-16
10進9桁以下	657408909	209259755	-5.44767386326588380711e-18
31bit以下	1068966896	340262731	-9.77236323203935200888e-19
32bit以下	3618458675	1151791169	-1.65038166494360663281e-19
10進10桁以下	6167950454	1963319607	-2.42761825922838344760e-20
10進12桁以下	21053343141	6701487259	-8.32827592510769072009e-23
10進14桁以下	8958937768937	2851718461558	-2.45785970095542706416e-27
10進16桁以下	6134899525417045	1952799169684491	-1.54785025105017880241e-32
10進18桁以下	430010946591069243	136876735467187340	2.75587618588738719392e-36
64bit以下	2646693125139304345	842468587426513207	-4.49046611523687068218e-39
127bit以下	60728338969805745700507212595448411044	19330430665609526556707216376512714945	1.98652948184227162437e-76
128bit以下	256839923861488782607902790348837497679	81754686931803956266412424933874257924	-2.76396581129743574033e-78

オイラーの数ｅも求めてみました。

ｅの分数近似 (ｅ≒2.71828182845904523536028747135266249775724709369995…)

上限	被除数 a	除数 b	誤差(a/b/ｅ-1)
8bit以下	193	71	1.03119167375784216350e-5
15bit以下	23225	8544	2.48206319277341287008e-9
16bit以下	49171	18089	1.01774028148239222876e-10
10進6桁以下	566827	208524	4.24477193524942965466e-12
10進7桁以下	9242691	3400196	9.39365936708327277024e-14
10進8桁以下	28245729	10391023	2.26630045186603754982e-16
10進10桁以下	848456353	312129649	-2.21730813031467866914e-19
10進12桁以下	563501581931	20730064706	4.28563301202314957246e-24
10進14桁以下	46150226651233	16977719590391	5.54377713289347224505e-29
10進16桁以下	2124008553358849	781379079653017	-2.40820008083386219477e-32
10進18桁以下	106246577894593683	39085931702241241	8.91254046041767100087e-36
64bit以下	5739439214861417731	2111421691000680031	-2.84379499543328650267e-39
128bit以下	32899961416752178009859175564060540001	12103219420556805047490636736113723601	-5.12409357801477027851e-77

ついでに、ln(10) も求めてみました。

ln(10)の分数近似 (ln(10)≒2.30258509299404568401799145468436420760110148862877…)

上限	被除数 a	除数 b	誤差(a/b/ln(10)-1)
8bit以下	175	76	2.01885930140768282573e-5
15bit以下	12381	5377	-3.63694236969525253020e-9
16bit以下	53443	2321	-1.57023376770388504366e-10
10進8桁以下	11249839	4885743	-6.88220614857135166216e-16
10進10桁以下	1784326399	774923109	2.95609872891646180027e-20
10進12桁以下	829450012292	360225563353	9.64071099020018463581e-25
10進14桁以下	57579414720272	25006422084233	-1.75732289543998383413e-28
10進17桁以下	227480160645689	98793378510888	6.20618869283960716155e-32
10進18桁以下	652415938230071451	283340641879052828	2.48418613473633684568e-36
63bit以下	7013186985772460987	3045788408476679291	-3.20170789425199490362e-38
64bit以下	9948944967727459672	4320771900243161573	9.83627881266804634475e-40
127bit以下	113914734359959275163002921430992681610	49472540540005072595078612933407385387	-7.595937959911257199419e-77
128bit以下	239379993428631369984404812056898355503	103961410224091287935222581325528594506	8.480564324700164171770e-78

連分数を使って分数近似を求める calc による分数近似プログラムの例


/* fract : fractional approximation program v1.04 (Feb. 8 2008) 
 * Copyright (c) 2008, Takayuki HOSODA. All rights reserved.
 */

config("display", 20)
config("mode", "real")
config("epsilon", 1e-50)

define fract(x, err)
{
    local a, c, d, e, n, t;
    local i, j;
    local mat m[100];

    c = a = abs(x);
    print "#fractional approximation for", a;
    print "#order\tcoefficients\tnumerator\tdenominator\terror";
    i = 0;
    e = 1;
    do {
        m[i] = floor(c);
        if (m[i] != 0) {
            n = 1;
            d = 0;
            for (j = i; j >= 0; j--){
                t = n;
                n = n * m[j] + d;
                d = t;
            }
            e = abs(a * d / n - 1); 
            print i, "\t", m[i], "\t", n,"\t", d, "\t", e;
        }
        c -= m[i];
        if ((c == 0) || (e < err))
            break;
        c = 1 / c;
    } while (++i < 100);
}

fract(pi(), 1e-20)
quit

Note 1:

ある日、カリフォルニア在住の友人とのワインの話しで

「1 gallon (Queen Ann's gallon) って 231 立方インチなんだけど、何故 3 × 7 × 11 なんて互いに素な素数の積なんだろう？」

と調べてみると、1 gallon = 直径7" × 高さ6" と決まっていたのをアン女王の時代に πの分数近似 22/7 で置き換えたかららしい。
近似で増える分は天使の取り分にしておこう :-)

π r² ≈ 22/7 × (7/2)² × 6 = 231

なんか幸せな数字だ。中国人剰余定理を使って各辺の余りで 231 までの数が全て表せるじゃあないか。いや、液体は積めないか…
Anyway ワインは幸せだね ;-)